Question

20．若存在正实数m，使得关于x的方程x+a（2x+2m-4ex）[1n（x+m）-lnx]=0有两个不同的根，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，0）
• B． （0，$\frac{1}{2e}$）
• C． （-∞，0）∪（$\frac{1}{2e}$，+∞）
• D． （$\frac{1}{2e}$，+∞）

Answer 1

分析 由题意得-$\frac{1}{2a}$=（1+$\frac{m}{x}$-2e）ln（1+$\frac{m}{x}$）=（t-2e）lnt，（t=$\frac{m}{x}$+1＞1），令f（t）=（t-2e）lnt，（t＞0），利用导数性质能求出实数a的取值范围．

解答 解：由题意得-$\frac{1}{2a}$=（1+$\frac{m}{x}$-2e）ln（1+$\frac{m}{x}$）=（t-2e）lnt，（t=$\frac{m}{x}$+1＞1），
令f（t）=（t-2e）lnt，（t＞0），
则f′（t）=lnt+1-$\frac{2e}{t}$，f''（t）=$\frac{1}{t}$+$\frac{2e}{{t}^{2}}$＞0，
当x＞e时，f′（t）＞f′（e）=0，
当0＜x＜e时，f′（t）＜f′（e）=0，
∴f（t）≥f（e）=-e，
∴-$\frac{1}{2a}$＞-e，
解得a＜0或a＞$\frac{1}{2e}$，
故选：C．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、构造法的合理运用．