Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知asinA+bsinB-

3

bsinA=csinC．
（1）求角C的值；
（2）若sinB=2cosA，a=2

3

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）利用正弦定理化简已知等式，再由余弦定理列出关系式，将得出的等式变形后代入求出cosC的值，利用特殊角的三角函数值即可求出C的度数．
（2）根据已知有：sin（150°-A）=2cosA，化简可得tanA=

3

．由A为三角形内角，可求A=60°，B=90°，由正弦定理可解得c=2，由三角形面积公式即可得解．

解答： 解：（1）利用正弦定理化简asinA+bsinB-

3

bsinA=csinC，
得：a²+b²-

3

ab=c²，
即a²+b²-c²=

3

ab，
∴由余弦定理可得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

3 ab

2ab

=

3

2

，
∵C为三角形内角，
∴C=30°．
（2）由（1）可得C=30°．
∴根据已知有：sin（150°-A）=2cosA，由三角函数中的恒等变换应用化简可得：tanA=

3

．A为三角形内角．
∴A=60°，B=180°-30°-60°=90°
∴由正弦定理可得：

2 3

sin60°

=

c

sin30°

，解得：c=2．
∴S_△ABC=

1

2

ac=

1

2

×2×2

3

=2

3

．

点评：此题考查了余弦定理，正弦定理，三角形面积公式的应用，考查了三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握定理是解本题的关键．