Question

已知函数f（x）=

a•2x-1-a

2x-1

为奇函数．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求证：函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）先研究函数的定义域，然后根据奇函数的定义即f（-x）=-f（x）恒成立求出a的值；
（Ⅱ）需用单调性的定义证明该函数为增函数．

解答： 解：f(x)=

a•2x-1-a

2x-1

=a-

1

2x-1

．
（Ⅰ）由奇函数定义，得f（-x）+f（x）=0恒成立，
即a-

1

2-x-1

+a-

1

2x-1

=0，解得a=-

1

2

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f(x)=-

1

2

-

1

2x-1

，
设0＜x₁＜x₂，则f(x1)-f(x2)=

1

2x2-1

-

1

2x1-1

=

2x1-2x2

(2x1-1)(2x2-1)

，
由0＜x₁＜x₂，所以1＜2x1＜2x2，
所以2x1-2x2＜0，2x1-1＞0，2x2-1＞0，所以f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以函数f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．

点评：本题考查了函数奇偶性的定义及其应用，函数的单调性的定义及其应用，属于基础题．