Question

6．已知二次函数f（x）=x²+mx+n（m，n∈R）的两个零点分别在（0，1）与（1，2）内，则（m+1）²+（n-2）²的取值范围是[2，5]．

Answer 1

分析 由二次方程根的分布可得m，n所满足的不等式组，再由（m+1）²+（n-2）²的几何意义，由线性规划的知识可求解．

解答 解：
由题意知，二次函数的图象与x轴的交点分别在区间（0，1）和（1，2）内，如图

由图象可得：$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=n＞0}\\{f（1）=m+n+1＜0}\\{f（2）=2m+n+4＞0}\end{array}\right.$，
此不等式组所表示的平面区域为下图：

设$z=\sqrt{（m+1）^{2}+（n-2）^{2}}$，则Z的几何意义即为点E（-1，2）到区域内点的连线段的距离，
过点E作直线m+n+1=0的垂线，如图，可得Z得最小值为点E到该直线的距离，即${Z}_{min}=\frac{|-1+2+1|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$，
又|EC|=2，|EB|=$\sqrt{5}$，∵A（-3，2），∴|EA|=2，
故Z的最大值为$\sqrt{5}$．
∴Z的范围为$[\sqrt{2}，\sqrt{5}]$，
∴（m+1）²+（n-2）²的范围为：[2，5]．
故答案为：[2，5]．

点评 本题考查二次方程根的分布及简单的线性规划知识．解题关键在于能根据根的位置得到不等式组，转化为线性规划问题．然后再利用目标函数的几何意义求解．本题考查了数形结合，转化与化归的思想方法．属于中档题．