Question

18．棱长均相等的四面体A-BCD中，P为BC中点，Q为直线BD上一点，则平面APQ与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围是$[\frac{{\sqrt{2}}}{3}，1]$．

Answer 1

分析 由题意把正四面体A-BCD放到正方体BK内，则平面ACD与平面APQ所成角的正弦值等于平面ACD的法向量BK与平面AEPQ所成角的余弦值，由此能求出平面APQ与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围．

解答 解：由题意把正四面体A-BCD放到正方体BK内，
则平面ACD与平面APQ所成角的正弦值等于平面ACD的法向量BK与平面APQ所成角的余弦值，
问题等价于平面APQ绕AP转动，
当平面ACD与平面APQ所成角等于BK与AP夹角时，
平面APQ与平面ACD所成二面角的正弦值取最小值，
此时该正弦值为：$\frac{\sqrt{2}}{3}$；
当平面APQ与BK平行时，所成角为0°，
此时正弦值为1．
∴平面APQ与平面ACD所成二面角的正弦值的取值范围为[$\frac{\sqrt{2}}{3}$，1]．
故答案为：[$\frac{\sqrt{2}}{3}$，1]．

点评 本题考查二面角的正弦值的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．