Question

10．在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AB∥CD，且PA=AD=CD=a，AB=2a．求：
（1）PD与CB所成的角；
（2）CP与平面PAB所成的角；
（3）二面角P-DC-A的大小．

Answer 1

分析 （1）根据异面直线所成角的定义即可PD与CB所成的角；
（2）根据直线和平面所成角的定义即可求CP与平面PAB所成的角；
（3）根据二面角的定义找出二面角P-DC-A的平面角进行求解即可．

解答 解：（1）∵PA=AD=CD=a，AB=2a，
∴取AB的中点E，连接DE，CE，
则AE=CD，
∵AB⊥AD，AB∥CD，
∴四边形ADCE是正方形，四边形DEBC是平行四边形，
则DE∥BC，
则PD与DE所成的角就是PD与CB所成的角；
∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AB，
则DE=$\sqrt{2}$a，PE=$\sqrt{2}$a，PD=$\sqrt{2}$a，
则△PDE是正△，
则∠PDE=60°，
即PD与CB所成的角为60°．
（2）∵四边形ADCE是正方形，
∴CE⊥AE，
∵PA⊥底面ABCD，PA?面PAB，
∴面PAB⊥底面ABCD，
则CE⊥面PAB，
则PE是PC在面PAB上的射影，
则∠PCE是CP与平面PAB所成的角，
∵PE=$\sqrt{2}$a，CE=a，
∴tan∠PCE=$\frac{CE}{PE}=\frac{a}{\sqrt{2}a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
则∠PCE=arctan$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
即CP与平面PAB所成的角为arctan$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
（3）∵PA⊥底面ABCD，CD?底面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵AB⊥AD，∴CD⊥AD
则CD⊥面PAD，
则∠PAD是二面角P-DC-A的平面角，
∵PA=AD，
∴∠PAD=45°，
即二面角P-DC-A的大小为45°．

点评 本题主要考查空间角的求解，涉及异面直线所成的角，直线和平面所成的角，以及二面角的求解，利用定义法分别作出对应的平面角是解决本题的关键．