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已知函数
(1)若函数上是减函数,求实数的取值范围;
(2)是否存在实数,当是自然常数)时,函数的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,说明理由;
(3)当时,证明:.

(1);(2)详见解析;(3)详见解析.

解析试题分析:(1)先对函数进行求导,根据函数h(x)在[2,3]上是减函数,可得到其导函数在[2,3]上小于等于0应该恒成立,再结合二次函数的性质可求得a的范围;(2)先假设存在,然后对函数g(x)进行求导,再对a的值分情况讨论函数g(x)在(0,e]上的单调性和最小值取得,可知当a=e2能够保证当x∈(0,e]时g(x)有最小值3;(3)结合(2)知的最小值为3,只须证明即可,令,则上单调递增,∴的最大值为 ,即得证.
解:(1)令,则
  (1分))∵上是减函数,
上恒成立,即上恒成立 (2分)
上是减函数,∴的最小值为
  (4分)
(2)假设存在实数,使有最小值是3,∵
,则,∴上为减函数,的最小值为
矛盾, (5分)
时,令,则
,即上单调递减,在上单调递增
,解得   (7分)
,即时,上单调递减
矛盾,  (9分)
(3)∵,由整理得, (10分)
而由(2)知 的最小值为3,只须证明即可  (11分))
,则上单调递增,
的最大值为(12分)
,即   (14分)
( 接11分处另解, 即证,即证
,则,求得从而得

练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题

已知函数
(1)当a=1时,求曲线在点(1,f(1))处的切线方程;
(2)当a>0时,若f(x)在区间[1,e]上的最小值为-2,求a的值;
(3)若对任意,且恒成立,求a的取值范围.

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已知函数(其中),为f(x)的导函数.
(1)求证:曲线y=在点(1,)处的切线不过点(2,0);
(2)若在区间中存在,使得,求的取值范围;
(3)若,试证明:对任意恒成立.

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(2013•重庆)设f(x)=a(x﹣5)2+6lnx,其中a∈R,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6).
(1)确定a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间与极值.

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已知函数,且
(1)求的值;
(2)求函数的单调区间;
(3)设函数,若函数上单调递增,求实数的取值范围.

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已知函数的图象过坐标原点O,且在点处的切线的斜率是.
(1)求实数的值;
(2)求在区间上的最大值;
(3)对任意给定的正实数,曲线上是否存在两点P、Q,使得是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上?说明理由.

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已知
(1)证明函数上是增函数;
(2)用反证法证明方程没有负数根.

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已知函数为自然对数的底数).
(1)求曲线处的切线方程;
(2)若的一个极值点,且点满足条件:.
(ⅰ)求的值;
(ⅱ)求证:点是三个不同的点,且构成直角三角形.

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已知函数f(x)=x3-3x2+2x
(1)在处的切线平行于直线,求点的坐标;
(2)求过原点的切线方程.

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