已知函数为自然对数的底数).
(1)求曲线在处的切线方程;
(2)若是的一个极值点,且点,满足条件:.
(ⅰ)求的值;
(ⅱ)求证:点,,是三个不同的点,且构成直角三角形.
(1);(2)(ⅰ);(ⅱ)参考解析
解析试题分析:(1)由函数,求函数的导数,并计算即所求切线方程的斜率,又过点.即可求出结论.
(2)(ⅰ)由(1)得到的函数的导数,即可求出函数的单调区间,从而得到函数的极值点,即得到的值.
(ⅱ)需求证:点,,是三个不同的点,通过分类每两个点重合,利用已知条件即方程的根的个数来判定即可得到三点是不同点的点.通过向量的数量积可得到三点可构成直角三角形.
(1), 2分
,又, 4分
所以曲线在处的切线方程为,
即. 5分
(2)(ⅰ)对于,定义域为.
当时,,,∴;
当时,;
当时,,,∴, 8分
所以存在唯一的极值点,∴,则点为. 9分
(ⅱ)若,则,,
与条件不符,从而得.
同理可得. 10分
若,由,此方程无实数解,
从而得. 11分
由上可得点,,两两不重合.
又
从而
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已知函数,
(1)若函数在上是减函数,求实数的取值范围;
(2)是否存在实数,当(是自然常数)时,函数的最小值是3,若存在,求出的值;若不存在,说明理由;
(3)当时,证明:.
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若函数y=f(x)在x=x0处取得极大值或极小值,则称x0为函数y=f(x)的极值点.已知a,b是实数,1和-1是函数f(x)=x3+ax2+bx的两个极值点.
(1)求a和b的值;
(2)设函数g(x)的导函数g′(x)=f(x)+2,求g(x)的极值点.
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(2013•天津)已知函数f(x)=x2lnx.
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)证明:对任意的t>0,存在唯一的s,使t=f(s).
(3)设(2)中所确定的s关于t的函数为s=g(t),证明:当t>e2时,有.
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某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路(如图所示).在点A与圆
弧上的一点C之间设计为直线段小路,在路的两侧边缘种植绿化带;从点C到点B设计为沿弧的弧形小路,在路的一侧边缘种植绿化带.(注:小路及绿化带的宽度忽略不计)
(1)设(弧度),将绿化带总长度表示为的函数;
(2)试确定的值,使得绿化带总长度最大.
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