Question

7．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），l：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）
（1）求曲线C的普通方程，l的直角坐标方程
（2）设l与C交于M，N两点，点P（-2，0），若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）曲线C转化为ρ²sin²θ=2aρcosθ，（a＞0），由此能求出曲线C的普通方程；l的参数方程消去参数能求出l的直角坐标方程．
（2）将l的参数方程代入曲线C的普通方程，得：${t}^{2}-2\sqrt{2}at+8a=0$，由根的差别式得a＞4，由韦达定理得${t}_{1}+{t}_{2}=2\sqrt{2}a$，t₁t₂=8a，由此利用|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，能求出a．

解答 解：（1）∵曲线C：ρsin²θ=2acosθ（a＞0），∴ρ²sin²θ=2aρcosθ，（a＞0），
∴曲线C的普通方程为y²=2ax，（a＞0）；
∵l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数），
∴消去参数得l的直角坐标方程为：x-y+2=0．
（2）将l的参数方程：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）代入y²=2ax，（a＞0），
得：${t}^{2}-2\sqrt{2}at+8a=0$，
△=8a²-32a＞0，解得a＞4，
${t}_{1}+{t}_{2}=2\sqrt{2}a$，t₁t₂=8a，
∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，
∴|t₁-t₂|²=|t₁t₂|，∴（2$\sqrt{2}a$）²-4×8a=8a，
解得a=5．

点评 本题考查曲线的普通方程与直线的直角坐标方程的求法，考查实数值的求法，涉及到直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化、根的判别式、韦达定理、等比数列等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．