Question

16．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=2$\sqrt{3}$，sinB=2sinA．
（1）若C=$\frac{π}{3}$，求a，b的值；
（2）若cosC=$\frac{1}{4}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理、余弦定理即可求出；
（2）根据正弦定理、余弦定理即可求出a，b，再根据三角形的面积公式计算即可．

解答 解：（1）∵sinB=2sinA
由正弦定理可得b=2a，
∵c=2$\sqrt{3}$，C=$\frac{π}{3}$，
由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC，
即12=a²+4a²-2a²=3a²，
解得a=2，b=4，
（2）∵c=2$\sqrt{3}$，cosC=$\frac{1}{4}$，
∴sinC=$\frac{\sqrt{15}}{4}$
由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC，
即12=a²+4a²-a²=4a²，
解得a=$\sqrt{3}$，b=2$\sqrt{3}$，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{15}}{4}$=$\frac{3\sqrt{5}}{4}$．

点评 本题考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，属于基础题．