Question

15．数列{a_n}中，若存在a_k，使得“a_k＞a_k-1且a_k＞a_k+1”成立（其中k≥2，k∈N^*），则称a_k为{a_n}的一个H值．现有如下数列：①a_n=1-2n；②a_n=sinn；③a_n=$\frac{n-2}{{e}^{n-3}}$④a_n=lnn-n，则存在H值的数列有（　　）个．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由新定义可知，若数列{a_n}有H值，则数列不是单调数列，且存在k（k≥2，k∈N^*），使得“a_k＞a_k-1且a_k＞a_k+1”成立．
①是等差数列，为单调数列；举例说明②存在H值；利用导数判断函数的单调性，说明③存在H值，④是单调数列．

解答 解：由新定义可知，若数列{a_n}有H值，则数列不是单调数列，且存在k（k≥2，k∈N^*），使得“a_k＞a_k-1且a_k＞a_k+1”成立．
对于①a_n=1-2n，该数列为递减数列，不合题意；
对于②a_n=sinn，取k=2，则sin2＞sin1，且sin2＞sin3，数列存在H值；
对于③a_n=$\frac{n-2}{{e}^{n-3}}$，令f（x）=$\frac{x-2}{{e}^{x-3}}$，f′（x）=$\frac{3-x}{{e}^{x-3}}$，由f′（x）=0，得x=3．
当x＜3时，f′（x）＞0，函数为增函数，当x＞3时，f′（x）＜0，函数为减函数，∴x=3时函数取得极大值，也就是最大值，
则对于数列a_n=$\frac{n-2}{{e}^{n-3}}$，有a₃＞a₂，且a₃＞a₄，数列存在H值；
对于④a_n=lnn-n，令g（x）=lnx-x，g′（x）=$\frac{1}{x}-1=\frac{1-x}{x}$，当x≥1时，g′（x）≤0，数列为递减数列，不合题意．
∴存在H值的数列有2个．
故选：B．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查数列的函数特性，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．