Question

设和是函数的两个极值点，其中，．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的最大值．注：e是自然对数的底．

Answer 1

（1） ；2）．

试题分析：（1）先判断函数的定义域，再求函数的导函数，根据极值点为导数为0时的根，找出函数中所含未知数的范围和两个极值点与的关系，再求的取值范围；（2）先设，再化简已知不等式，用表示出来，然后就计算得出关于的表达式，再构造新函数，利用导数求新函数的单调性，可知新函数的最值，即为所求．
试题解析：(1)解：函数的定义域为，．
依题意，方程有两个不等的正根，（其中）．故
，
并且                    ．
所以，

故的取值范围是．                              7分
(2)解当时，．若设，则
．
于是有  


构造函数（其中），则．
所以在上单调递减，．
故的最大值是．                         15分