Question

【题目】如图，边长为的等边△所在的平面垂直于矩形所在的平面，，为的中点．

（1）证明：；

（2）求二面角的大小．

Answer 1

【答案】（1）能利用已知建立空间直角坐标系，然后表示出点的坐标，进而证明即可。

（2）

【解析】试题分析：（1）证线线垂直可化为证线与面垂直．即证其中的一条线与另一条线所在的面垂直：AM与面PEM垂直．

（2）求二面角的问题，关键要牢牢把握定义，本题中容易EM⊥AM，PM⊥AM，利用定义得证，最后放到三角形 中来算．

试题解析：（1）证明：如图所示，取CD的中点E，连接PE，EM，EA，

∵△PCD为正三角形，

∴PE⊥CD，PE＝PDsin∠PDE＝2sin60°＝．

∵平面PCD⊥平面ABCD，

∴PE⊥平面ABCD，而AM平面ABCD，∴PE⊥AM．

∵四边形ABCD是矩形，

∴△ADE，△ECM，△ABM均为直角三角形，由勾股定理可求得EM＝，

AM＝，AE＝3，∴EM2＋AM2＝AE2．∴AM⊥EM．

又PE∩EM＝E，∴AM⊥平面PEM，∴AM⊥PM

（2）解：由（1）可知EM⊥AM，PM⊥AM，

∴∠PME是二面角P－AM－D的平面角．

∴tan∠PME＝＝＝1，∴∠PME＝45°．∴二面角P－AM－D的大小为45°．