Question

已知互相垂直的两条直线y=kx和y=-

x

k

分别与双曲线2x²-y²=1交于点A、B，点P在线段AB上，且满足

OA

•

OP

=

OB

•

OP

，则所有的点P在（　　）

• A、双曲线2x²-y²=1上
• B、圆x²+y²=1上
• C、椭圆上
• D、|x|+|y|=1上

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：由条件求得

OA

2和

OB

2的值，由 

OA

•

OP

=

OB

•

OP

，求得OP⊥AB．再根据△OAB的面积为

1

2

|

OA

|•|

OB

|=

1

2

|

AB

|•|

OP

|，求得 OP²=1，可得点P在以原点为圆心、半径等于1的圆上，从而得出结论．

解答： 解：由

y=kx 2x2-y2=1

求得x²=

1

2-k2

，∴

OA

2=x²+k²x²=

1+k2

2-k2

；
由

y=- x k 2x2-y2=1

 求得x²=

k2

2k2-1

，

OB

2=x²+

x2

k2

．
∵

OA

•

OP

=

OB

•

OP

，∴

OP

•

AB

=0，∴OP⊥AB．
再根据△OAB的面积为

1

2

|

OA

|•|

OB

|=

1

2

|

AB

|•|

OP

|，∴OP²=

OA2•OB2

AB2

=

OA2•OB2

OA2+OB2

=1，
故点P在以原点为圆心、半径等于1的圆上，
故选：B．

点评：本题主要考查两个向量垂直的条件，两个向量的数量积的运算，利用面积法求线段的长度，属于基础题．