Question

设函数f（x）=sinxsin（x+α），则下列命题正确的是

 

（写出所有正确命题的编号）．
①f（x）的周期与α无关 
②f（x）是偶函数的充分必要条件α=0  
③无论α取何值，f（x）不可能为奇函数 
④x=-

α

2

是f（x）的图象的一条对称轴 
⑤若f（x）的最大值为

3

4

，则α=2kπ+

π

3

（k∈Z）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用积化和差公式，可将函数f（x）=sinxsin（x+α）化为余弦型函数，进而分析题目中5个结论的真假，可得答案．

解答： 解：∵f（x）=sinxsin（x+α）=-

1

2

[cos（x+x+a）-cos（x-x-a）]=-

1

2

cos（2x+a）+

1

2

cosa；
∵ω=2，故f（x）的周期为π，与α无关，故①正确；
f（x）是偶函数等价于a=kπ，k∈Z，故②错误；
当a=

π

2

+kπ，k∈Z时，f（x）奇函数，故③错误；
当x=-

α

2

时，2x+a=0，此时函数取最小值，故x=-

α

2

是f（x）的图象的一条对称轴，故④正确；
若f（x）的最大值为

3

4

，则

1

2

cosa+

1

2

=

3

4

，此时cosa=

1

2

，此时α=2kπ±

π

3

，故⑤错误；
故命题正确的是：①④，
故答案为：①④

点评：本题考查的知识点是余弦型函数的图象和性质，熟练掌握余弦型函数的图象和性质是解答的关键．