【题目】已知向量 , ,且 ,f(x)= ﹣2λ| |(λ为常数), 求:
(1) 及| |;
(2)若f(x)的最小值是 ,求实数λ的值.
【答案】
(1)解: , ,
∵ ,
∴cosx≥0,
∴
(2)解:f(x)=cos2x﹣4λcosx=2(cosx﹣λ)2﹣1﹣2λ2,
∵ ,
∴0≤cosx≤1,
①当λ<0时,当且仅当cosx=0时,f(x)取得最小值﹣1,这与已知矛盾;
②当0≤λ≤1,当且仅当cosx=λ时,f(x)取得最小值﹣1﹣2λ2,
由已知得 ,解得 ;
③当λ>1时,当且仅当cosx=1时,f(x)取得最小值1﹣4λ,
由已知得 ,解得 ,这与λ>1相矛盾、
综上所述, 为所求
【解析】(1)根据所给的向量的坐标,写出两个向量的数量积,写出数量积的表示式,利用三角函数变换,把数量积整理成最简形式,再求两个向量和的模长,根据角的范围,写出两个向量的模长.(2)根据第一问做出的结果,写出函数的表达式,式子中带有字母系数λ,把式子整理成关于cosx的二次函数形式,结合λ的取值范围,写出函数式的最小值,是它的最小值等于已知量,得到λ的值,把不合题意的舍去.
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【题目】已知点A(﹣ ,0),B( ,0),P是平面内的一个动点,直线PA与PB交于点P,且它们的斜率之积是﹣ .
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)设直线l:y=kx+1与曲线C交于M、N两点,当线段MN的中点在直线x+2y=0上时,求直线l的方程.
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【题目】已知圆C的圆心在坐标原点,且与直线l1:x﹣y﹣2 =0相切 (Ⅰ)求直线l2:4x﹣3y+5=0被圆C所截得的弦AB的长.
(Ⅱ)过点G(1,3)作两条与圆C相切的直线,切点分别为M,N,求直线MN的方程
(Ⅲ) 若与直线l1垂直的直线l与圆C交于不同的两点P,Q,若∠POQ为钝角,求直线l纵截距的取值范围.
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【题目】已知向量 =(cosα,sinα), =(cosβ,sinβ),| ﹣ |= .
(1)求cos(α﹣β)的值;
(2)若0<α< ,﹣ <β<0,且sinβ=﹣ ,求sinα的值.
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【题目】渝州集团对所有员工进行了职业技能测试从甲、乙两部门中各任选10名员工的测试成绩(单位:分)数据的茎叶图如图所示.
(1)若公司决定测试成绩高于85分的员工获得“职业技能好能手”称号,求从这20名员工中任选三人,其中恰有两人获得“职业技能好能手”的概率;
(2)公司结合这次测试成绩对员工的绩效奖金进行调整(绩效奖金方案如下表),若以甲部门这10人的样本数据来估计该部门总体数据,且以频率估计概率,从甲部门所有员工中任选3名员工,记绩效奖金不小于的人数为,求的分布列及数学期望.
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【题目】下列说法:
①若f(x)=ax2+(2a+b)x+2(其中x∈[﹣1,a])是偶函数,则实数b=﹣2;
②f(x)= + 既是奇函数又是偶函数;
③若f(x+2)= ,当x∈(0,2)时,f(x)=2x , 则f(2015)=2;
④已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数,且对任意的x,y∈R都满足f(xy)=xf(y)+yf(x),则f(x)是奇函数.其中所有正确命题的序号是 .
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【题目】某数学教师对所任教的两个班级各抽取20名学生进行测试,分数分布如表:
分数区间 | 甲班频率 | 乙班频率 |
[0,30) | 0.1 | 0.2 |
[30,60) | 0.2 | 0.2 |
[60,90) | 0.3 | 0.3 |
[90,120) | 0.2 | 0.2 |
[120,150) | 0.2 | 0.1 |
(Ⅰ)若成绩120分以上(含120分)为优秀,求从乙班参加测试的90分以上(含90分)的同学中,随机任取2名同学,恰有1人为优秀的概率;
(Ⅱ)根据以上数据完成下面的2×2列联表:在犯错概率小于0.1的前提下,你是否有足够的把握认为学生的数学成绩是否优秀与班级有关系?
优秀 | 不优秀 | 总计 | |
甲班 | |||
乙班 | |||
总计 |
k0 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
,其中n=a+b+c+d.
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