Question

设函数f（x）=

2x-2[x] ， x≥0 f(x+1) ， x＜0

，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[1.1]=1，[0.3]=0，若函数y=f（x）-k（x+1）恰有三个不同的零点，则k的取值范围是（　　）

• A、（-2，-1]∪[

  1

  2

  ，

  2

  3

  ）
• B、[-2，-1）∪（0，

  1

  2

  ]
• C、[

  1

  2

  ，

  2

  3

  ]
• D、[

  1

  2

  ，

  2

  3

  ）

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：数形结合,函数的性质及应用

分析：根据[x]的定义，求出函数f（x）的表达式，作出函数f（x）和y=k（x+1）的图象，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：当0≤x＜1时，f（x）=2x-2[x]=2x；
当1≤x＜2，0≤x-1＜1，
f（x）=2（x-1）-2[x-1]=
2（x-1）；
当2≤x＜3，0≤x-2＜1，
f（x）=2（x-2）；
当3≤x＜4，0≤x-3＜1，
f（x）=2（x-3）；
…
当-1≤x＜0，0≤x+1＜1，f（x）=2（x+1）；
当-2≤x＜-1，0≤x+2＜1，f（x）=2（x+2）；
当-3≤x＜-2，0≤x+3＜1，f（x）=2（x+3）；
当-4≤x＜-3，0≤x+4＜1，f（x）=2（x+4）；
…画出函数f（x）的图象和直线y=k（x+1），
由图象可知，代入（2，2）得，2=3k，k=

2

3

；代入（3，2）得，2=4k，得，k=

1

2

；
故

1

2

＜k＜

2

3

时，f（x）的图象与直线有三个交点；
代入（-2，2）得，2=-k，得，k=-2，代入（-3，2）得，2=-2k，k=-1．
故-2＜k＜-1时，f（x）的图象与直线有三个交点．
故函数y=f（x）-k（x+1）恰有三个不同的零点，则k的取值范围是（-2，-1）∪（

1

2

，

2

3

）

点评：本题主要考查分段函数的应用，以及新定义的理解，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，有一定的难度．