Question

在三棱柱ABC­A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁为矩形，AB＝1，AA₁＝，D为AA₁的中点，BD与AB₁交于点O，CO⊥侧面ABB₁A₁.

(1)证明：BC⊥AB₁；

(2)若OC＝OA，求直线C₁D与平面ABC所成角的正弦值．

图J12­2

Answer 1

解：(1)证明：由题意可知，在Rt△ABD中，tan∠ABD＝＝，在Rt△ABB₁中，tan∠AB₁B＝＝.

又因为0<∠ABD，∠AB₁B<，所以∠ABD＝∠AB₁B，

所以∠ABD＋∠BAB₁＝∠AB₁B＋∠BAB₁＝，

所以AB₁⊥BD.

又CO⊥侧面ABB₁A₁，且AB₁⊂侧面ABB₁A₁，∴AB₁⊥CO.

又BD与CO交于点O，所以AB₁⊥平面CBD.

又因为BC⊂平面CBD，所以BC⊥AB₁.

(2)如图所示，分别以OD，OB₁，OC所在的直线为x轴，y轴，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，

则A0，－，0，B－，0，0，C0，0，，B₁0，，0，D，0，0.