Question

13．已知x、y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y≥0\\ x+y-4≤0\\{（{x-2}）^2}+{y^2}≤4\end{array}\right.$，则z=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+y的范围为$[{-2\sqrt{3}，2-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}]$．

Answer 1

分析 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，进一步求得z=-$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$x+y的范围．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}x-y≥0\\ x+y-4≤0\\{（{x-2}）^2}+{y^2}≤4\end{array}\right.$作出可行域如图所示，

当直线$z=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}x+y$与可行域相切时，z最小，
由圆心（2，0）到直线$\frac{\sqrt{3}}{3}x-y+z=0$的距离d=$\frac{|\frac{2\sqrt{3}}{3}+z|}{\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{3}）^{2}+1}}=2$，
解得：z=$-2\sqrt{3}$或z=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$（舍）．
∴${z_{min}}=-2\sqrt{3}$，
当直线过（2，2）点时，z取得最大，此时${z_{max}}=2-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
∴z的范围为$[{-2\sqrt{3}，2-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}]$．
故答案为：$[{-2\sqrt{3}，2-\frac{{2\sqrt{3}}}{3}}]$．

点评 本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．