Question

17．已知实数x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}≤4\\ x-y≥0\end{array}$，则z=$\sqrt{{{（x+4）}^2}+{{（y-4）}^2}}$的最大值和最小值分别为（　　）

• A． $36+16\sqrt{2}$，32
• B． $4\sqrt{2}+2$，$4\sqrt{2}$
• C． $36+16\sqrt{2}$，$4\sqrt{2}$
• D． $36+16\sqrt{2}$，36

Answer 1

分析 本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}≤4\\ x-y≥0\end{array}$，画出满足约束条件的可行域，分析z=$\sqrt{{{（x+4）}^2}+{{（y-4）}^2}}$表示的几何意义，结合图象即可给出z=$\sqrt{{{（x+4）}^2}+{{（y-4）}^2}}$的取值范围．

解答 解：约束条件不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}≤4\\ x-y≥0\end{array}$对应的平面区域如下图示：
z=$\sqrt{{{（x+4）}^2}+{{（y-4）}^2}}$表示可行域内的点（x，y）与点（-4，4）距离，
当（x，y）=（0，0）时取最小值4$\sqrt{2}$，
当（x，y）=（$\sqrt{2}$，-$\sqrt{2}$）时取最大值4$\sqrt{2}$+2，
故选：B．

点评 平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．