Question

【题目】如图，四棱锥中，平面底面，且在底面正投影点在线段上，，.

（1）证明：；

（2）若，与所成角的余弦值为，求钝二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

试题（1）分析条件易得平面, ∵平面, ∴；

（2）作于点，则底面, ,以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，用向量求解即可.

试题解析：

（1）如图，连接交于点.∵,即为等腰三角形，又平分，故,∵平面底面， 平面底面，∴平面, ∵平面,

∴.

（2）作于点，则底面, ,以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系.，而,得,

又，故.

设，则由，得，而，

由，得，则,

所以.

设平面的法向量为，平面的法向量为，

由得可取，

由得可取，

从而法向量的夹角的余弦值为.

由图可知二面角是钝角，故二面角的余弦值为.