Question

12．已知数列{a_n}中a₁=1，S_n=4a_n-1+2，
（1）求a₂，a₃；
（2）设b_n=a_n+1-2a_n，求数列{b_n}的通项公式b_n．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，S_n=4a_n-1+2代入可得a₂=5，a₃=16；
（2）当n≥2时，S_n+1=4a_n+2，S_n=4a_n-1+2，从而可得a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），从而求通项公式．

解答 解：（1）∵a₁=1，S_n=4a_n-1+2，
∴a₂+1=4×1+2，
∴a₂=5，
∴a₃+6=4×5+2，
∴a₃=16；
（2）当n≥2时，S_n+1=4a_n+2，S_n=4a_n-1+2，
两式作差可得，
a_n+1=4a_n-4a_n-1，
故a_n+1-2a_n=2（a_n-2a_n-1），
又∵b_n=a_n+1-2a_n，
∴b_n=2b_n-1，
又∵b₁=a₂-2a₁=3，b₂=a₃-2a₂=6，
∴数列{b_n}是以3为首项，2为公比的等比数列；
∴b_n=3•2^n-1．

点评 本题考查了递推法的应用及构造法的应用，同时考查了等比数列的判断与性质应用．