Question

设F₁，F₂是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右两个焦点，若在双曲线的右支上存在一点P，使（

OP

+

OF2

）•

F2P

=0（O为原点）且|PF₁|=

3

|PF₂|，则双曲线的离心率为（　　）

• A、

  5 +1

  2

• B、

  5

  -1
• C、

  3

  +1
• D、

  3 +1

  2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：取PF₂的中点A，利用

OP

+

OF2

=2

OA

，可得

OA

⊥

F2P

，从而可得PF₁⊥PF₂，利用双曲线的定义及勾股定理，由离心率公式计算可得结论．

解答： 解：取PF₂的中点A，则

OP

+

OF2

=2

OA

，
∵（

OP

+

OF2

）•

F2P

=0，∴2

OA

•

F2P

=0，
∴

OA

⊥

F2P

，
∵O是F₁F₂的中点，
∴OA∥PF₁，
∴PF₁⊥PF₂，
∵|PF₁|=

3

|PF₂|，
∴2a=|PF₁|-|PF₂|=（

3

-1）|PF₂|，
∵|PF₁|²+|PF₂|²=4c²，
∴c=|PF₂|，
∴e=

c

a

=

2

3 -1

=

3

+1．
故选C．

点评：本题考查向量知识的运用，考查双曲线的定义，利用向量确定PF₁⊥PF₂是关键．