Question

6．已知（1+2x）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…a₁₀x¹⁰，则$\frac{a_0}{2^0}+\frac{a_1}{2•2}+\frac{a_2}{{3•{2^2}}}+…+\frac{{{a_{10}}}}{{11•{2^{10}}}}$=$\frac{{2}^{11}}{11}$．

Answer 1

分析 把等式两边取定积分，再令x=$\frac{1}{2}$可得答案．

解答 解：由（1+2x）¹⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…a₁₀x¹⁰，得${∫}_{0}^{1}$（1+2x）¹⁰dx=${∫}_{0}^{1}$（a₀+a₁x+a₂x²+…a₁₀x¹⁰）dx，
∴$\frac{（1+2x）^{11}}{11}$|${\;}_{0}^{1}$=（a₀x+$\frac{1}{2}$a₁x²+$\frac{1}{3}$a₂x³+…+$\frac{1}{11}$a₁₀x¹¹）|${\;}_{0}^{1}$，
∴$\frac{（1+2x）^{11}}{11}$=a₀x+$\frac{1}{2}$a₁x²+$\frac{1}{3}$a₂x³+…+$\frac{1}{11}$a₁₀x¹¹，
∴$\frac{（1+2x）^{11}}{11x}$=a₀+$\frac{1}{2}$a₁x+$\frac{1}{3}$a₂x²+…+$\frac{1}{11}$a₁₀x¹⁰，
令x=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{a_0}{2^0}+\frac{a_1}{2•2}+\frac{a_2}{{3•{2^2}}}+…+\frac{{{a_{10}}}}{{11•{2^{10}}}}$=$\frac{（1+2×\frac{1}{2}）^{11}}{11×\frac{1}{2}}$=$\frac{{2}^{11}}{11}$，
故答案为：$\frac{{2}^{11}}{11}$

点评 本题考查了定积分的应用和二项式定理，考查了转化能力和运算能力，属于中档题