Question

14．正四棱锥的侧棱长是底面长的k倍，则k的取值范围是（　　）

• A． （0，+∞）
• B． （$\frac{1}{2}$，+∞}）
• C． （$\sqrt{2}$，+∞）
• D． （$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，+∞）

Answer 1

分析 从棱锥顶点向底面正方形中心引一辅助线，该辅助线垂直底面，辅助线、侧棱与正方形对角线的一半构成直角三角形，
侧棱为斜边；根据直角三角形中的边角关系即可求出k的取值范围．

解答 解：如图所示，
设正四棱锥V-ABCD底面中心为O，BC=a，
则VB=ka，易知OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a；
在Rt△VOB中，cos∠VBO=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}a}{ka}$₌$\frac{\sqrt{2}}{2k}$，
∵∠VBO∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴0＜$\frac{\sqrt{2}}{2k}$＜1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k＞0}\\{2k＞\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
解得k＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴k的取值范围是（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，+∞）．

点评 本题考查了正四棱锥的结构特征的应用问题，也考查了空间想象能力与逻辑推理能力，是基础题目．