Question

2．已知定义域为R的偶函数f（x）满足对任意的x∈R，有f（x+2）=f（x）-f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=-（x-2）²+1．若函数y=f（x）-a（x-$\frac{11}{12}$）在（0，+∞）上恰有三个零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （$\frac{1}{3}$，3）
• B． （$\frac{1}{3}$，$\frac{4}{3}$）
• C． （3，12）
• D． （$\frac{4}{3}$，12）

Answer 1

分析 令x=-1，求出f（1），可得函数f（x）的周期为2，根据函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可．

解答 解：∵f（x+2）=f（x）-f（1），
且f（x）是定义域为R的偶函数，
令x=-1可得f（-1+2）=f（-1）-f（1），
又f（-1）=f（1），
∴f（1）=0 则有f（x+2）=f（x），
∴f（x）是最小正周期为2的偶函数．
当x∈[2，3]时，f（x）=-（x-2）²+1，
若x∈[0，1]，则x+2∈[2，3]，
则f（x）=f（x+2）=-（x+2-2）²+1=-x²+1，
即f（x）=-x²+1，x∈[0，1]，
若x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]，
即f（-x）=-x²+1=f（x），
即f（x）=-x²+1，x∈[-1，0]，
综上f（x）=-x²+1，x∈[-1，1]，
由函数y=f（x）-a（x-$\frac{11}{12}$）=0，
得函数f（x）=a（x-$\frac{11}{12}$），
设y=a（x-$\frac{11}{12}$），
作出函数f（x）和y=a（x-$\frac{11}{12}$）的图象如图，
要使函数y=f（x）-a（x-$\frac{11}{12}$）在（0，+∞）上恰有三个零点，
则a＞0，
当x∈[1，2]，则x-2∈[-1，0]，
则f（x）=f（x-2）=-（x-2）²+1，x∈[1，2]，
当x∈[3，4]，则x-2∈[1，2]，
则f（x）=f（x-2）=-（x-4）²+1，x∈[3，4]，
由-（x-2）²+1=a（x-$\frac{11}{12}$）整理得x²+（a-4）x+3-$\frac{11}{12}$a=0，
由判别式△=（a-4）²-4（3-$\frac{11}{12}$a）=0，
整理得3a²-13a+12=0得a=3（由图象知不合适）或a=$\frac{4}{3}$，
由-（x-4）²+1=a（x-$\frac{11}{12}$）整理得x²+（a-8）x+15-$\frac{11}{12}$a=0，
由判别式△=（a-8）²-4（15-$\frac{11}{12}$a）=0，
整理得3a²-37a+12=0得a=12（由图象知不合适）或a=$\frac{1}{3}$，
综上，要使函数y=f（x）-a（x-$\frac{11}{12}$）在（0，+∞）上恰有三个零点，
则$\frac{1}{3}$＜a＜$\frac{4}{3}$，
故选：B

点评 本题主要考查方程根的个数的判断，利用函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合以及分类讨论是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大．