Question

【题目】设函数，其中.

（1）若，求函数在区间上的取值范围；

（2）若，且对任意的，都有，求实数的取值范围；

（3）若对任意的，都有，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】试题分析：（1）当时，利用配方法可知当时有最小值，当时有最大值.（2）由（1）知函数对称轴为，由此将分成两类，讨论函数的最大值，并使最大值小于或等于，由此求得实数的取值范围.（3）将问题转化为函数在区间上的最小值和最大值之差的绝对值小于等于来解决.对分成四类，讨论函数的最值，并求得的取值范围.

试题解析： ，所以在区间上单调减，在区间上单调增，且对任意的，都有，

（1）若，则.

在区间上的取值范围为.

（2）“对任意的，都有”等价于“在区间上， ”.

时，则，

所以在区间上单调减，在区间上单调增.

当，即时，由，得，

从而.

当，即时，由，得，

从而.

综上， 的取值范围为区间.

（3）设函数在区间上的最大值为，最小值为，

所以“对任意的，都有”等价于“”.

①当， .

由，得.

从而.

②当， .

由，得.

从而.

③当， .

由，得.

从而.

④当， .

由，得.

从而.

综上， 的取值范围为区间.