Question

13．已知边长为1的正方体内接于半球体，即正方体的顶点中，有四点在球面上，另外四点在半球体的底面圆内，则半球体的体积为（　　）

• A． $\frac{16π}{3}$
• B． $\sqrt{6}π$
• C． $\frac{{\sqrt{6}π}}{2}$
• D． $4\sqrt{6}π$

Answer 1

分析 根据题意，球心O为正方体的底面ABCD的中心，由正方体的性质与勾股定理算出球半径R=3，再利用球的体积公式加以计算，可得该半球的体积．

解答 解：设正方形ABCD-A'B'C'D'的底面ABCD在半球的底面圆上，
则球心O为ABCD的中心，连结OA'
∵正方体的一边长为1，
∴A0=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得A'O=$\sqrt{1+\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
即半球的半径R=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
因此，半球的体积V=$\frac{1}{2}×\frac{4π}{3}×（\frac{\sqrt{6}}{2}）^{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$π
故选：C．

点评 本题给出正方体内接于半球内，在已知正方体棱长的情况下求半球的体积，着重考查了正方体的性质、勾股定理和球的体积公式等知识，属于中档题．