Question

已知幂函数f（x）=（m²-m-1）x^-5m-3在（0，+∞）上是增函数，又g（x）=log_a

1-mx

x-1

（a＞1）．
（1）求函数g（x）的解析式；
（2）当x∈（t，a）时，g（x）的值域为（1，+∞），试求a与t的值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义,函数解析式的求解及常用方法,幂函数的概念、解析式、定义域、值域

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用幂函数的单调性以及性质，列出关系式，求出m，即可求解函数g（x）的解析式；
（2）求出g（x）的定义域．结合a＞1，x∈（t，a），可得t≥1，设x₁，x₂∈（1，+∞），判断g（x）在（1，+∞）上是减函数，通过g（x）的值域列出方程

a+1

a-1

=a，即可求解a的值．

解答： 解：（1）∵f（x）是幂函数，且在（0，+∞）上是增函数，
∴

m2-m-1=1 -5m-3＞0

解得m=-1，
∴g(x)=loga

x+1

x-1

．…（3分）
（2）由

x+1

x-1

＞0可解得x＜-1，或x＞1，
∴g（x）的定义域是（-∞，-1）∪（1，+∞）．…（4分）
又a＞1，x∈（t，a），可得t≥1，
设x₁，x₂∈（1，+∞），且x₁＜x₂，于是x₂-x₁＞0，x₁-1＞0，x₂-1＞0，
∴

x1+1

x1-1

-

x2+1

x2-1

=

2(x2-x1)

(x1-1)(x2-1)

＞0，
∴

x1+1

x1-1

＞

x2+1

x2-1

．
由 a＞1，有loga

x1+1

x1-1

＞loga

x2+1

x2-1

，即g（x）在（1，+∞）上是减函数．…（8分）
又g（x）的值域是（1，+∞），
∴

t=1 g(a)=1

得g(a)=loga

a+1

a-1

=1，可化为

a+1

a-1

=a，
解得a=1±

2

，
∵a＞1，∴a=1+

2

，
综上，a=1+

2

 ，t=1．…（10分）

点评：本题考查函数的基本性质，单调性以及函数的最值，考查分析问题解决问题的能力．