Question

已知函数f(x)=

2x-1

2x+1

（1）求f（3）的值；      
（2）用单调性定义证明函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明,函数的值

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用

分析：（1）代入求值即可，
（2）用定义法证明单调性一般可以分为五步，取值，作差，化简变形，判号，下结论．

解答： 解：（1）f(3)=

23-1

23+1

=

7

9

；
（2）任取x₁，x₂∈（-∞，+∞），且x₁＜x₂，
则f(x1)-f(x2)=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

(2x1-1)(2x2+1)-(2x2-1)(2x1+1)

(2x1+1)(2x2+1)

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
∵x1＜x2∴2x1＜2x2，
即 2x1-2x2＜0，
又∵2x1+1＞0，2x2+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在（-∞，+∞）上是增函数．

点评：本题主要考查了函数单调性的证明，一般有两种方法，定义法，导数法．属于基础题．