Question

已知x，y＞10，xy=1000，求lgx•lgy的取值范围．

Answer 1

考点：对数的运算性质

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：由x＞10，y＞10，xy=1000，可得：lgx＞1，lgy＞1，lgy=3-lgx，令t=lgx，则lgy=3-t，且t∈（1，2），则lgx•lgy=t²-3t，进而结合二次函数的图象和性质得到答案．

解答： 解：∵x＞10，y＞10，xy=1000，
∴lgx＞1，lgy＞1，lgy=lg（

1000

x

）=3-lgx，
令t=lgx，则lgy=3-t，且t∈（1，2），
则lgx•lgy=t•（t-3）=t²-3t，
∵f（t）=t²-3t的图象是开口朝上且以直线t=

3

2

为对称轴的抛物线，
故当t=

3

2

时，函数取最小值

9

4

，
又由f（1）=f（2）=2，
故lgx•lgy的取值范围为（2，

9

4

]

点评：本题考查的知识点是对数的运算性质，二次函数的图象和性质，难度不大，属于基础题．