Question

已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个不同的交点，若f(c)＝0且0<x<c时，f(x)>0，

(1)证明：是f(x)＝0的一个根；

(2)试比较与c的大小；

(3)证明：－2<b<－1.

 

Answer 1

（1）见解析 （2）>c. （3）见解析

【解析】【解析】
(1)证明：∵f(x)的图象与x轴有两个不同的交点，

∴f(x)＝0有两个不等实根x1，x2，

∵f(c)＝0，

∴x1＝c是f(x)＝0的根，

又x1x2＝，

∴x2＝ (≠c)，

∴是f(x)＝0的一个根．

(2)假设<c，又>0，

由0<x<c时，f(x)>0，

知f()>0与f()＝0矛盾，∴≥c，

又∵≠c，∴>c.

(3)证明：由f(c)＝0，得ac＋b＋1＝0，

∴b＝－1－ac.

又a>0，c>0，∴b<－1.

二次函数f(x)的图象的对称轴方程为

x＝－＝<＝x2＝，

即－<.

又a>0，∴b>－2，

∴－2<b<－1.