Question

7．已知直线l₁过点P（1，4）且与x轴交于A点，直线l₂过点Q（3，-1）且与y轴交于B点，若l₁⊥l₂，且$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}$，则点M的轨迹方程为9x+6y+1=0．

Answer 1

分析 先设M（x，y），可讨论l₁是否存在斜率：（1）不存在斜率时，可求出A（1，0），B（0，-1），从而由$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}$可以求出x=$\frac{1}{3}，y=-\frac{2}{3}$，即点M（$\frac{1}{3}，-\frac{2}{3}$），（2）存在斜率时，可设斜率为k，从而可以分别写出直线l₁，l₂的方程，从而可以求出$A（-\frac{4}{k}+1，0），B（0，\frac{3}{k}-1）$，这样根据$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}$便可用k分别表示出x，y，这样消去k便可得出关于x，y的方程，并验证点$M（\frac{1}{3}，-\frac{2}{3}）$是否满足该方程，从而便得出点M的轨迹方程．

解答 解：设M（x，y），
（1）若l₁不存在斜率，则：l₁垂直x轴，l₂垂直y轴；
∴A（1，0），B（0，-1）；
∴由$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}$得，（x-1，y）=2（-x，-1-y）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-1=-2x}\\{y=-2-2y}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{3}}\\{y=-\frac{2}{3}}\end{array}\right.$；
即$M（\frac{1}{3}，-\frac{2}{3}）$；
（2）若l₁斜率为k，l₂斜率为$-\frac{1}{k}$，则：
l₁：y-4=k（x-1），令y=0，x=$-\frac{4}{k}+1$；
∴$A（-\frac{4}{k}+1，0）$；
l₂：$y+1=-\frac{1}{k}（x-3）$，令x=0，y=$\frac{3}{k}-1$；
∴$B（0，\frac{3}{k}-1）$；
∴由$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MB}$得，$（x+\frac{4}{k}-1，y）=2（-x，\frac{3}{k}-1-y）$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{x+\frac{4}{k}-1=-2x}\\{y=\frac{6}{k}-2-2y}\end{array}\right.$；
∴消去k并整理得：9x+6y+1=0；
点$M（\frac{1}{3}，-\frac{2}{3}）$满足方程9x+6y+1=0；
综（1）（2）知，点M的轨迹方程为9x+6y+1=0．
故答案为：9x+6y+1=0．

点评 考查直线垂直于x轴时不存在斜率，相互垂直的直线的斜率关系，根据点的坐标求向量的坐标，向量坐标的数乘运算，以及直线的点斜式方程，求直线和x，y轴交点的方法，注意不要忘了斜率不存在的情况．