Question

19．定义：用{x}表示不小于x的最小整数，例如{2}=2，{1，2}=2，{-1，1}=-1，已知数列{a_n}满足：${a_1}=1，{a_{n+1}}={a_n}^2+{a_n}$，则{$\frac{1}{{a}_{1}+1}+\frac{1}{{a}_{2}+1}+…+\frac{1}{{a}_{2016}+1}$}=（　　）

• A． -1
• B． 0
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 数列{a_n}满足：${a_1}=1，{a_{n+1}}={a_n}^2+{a_n}$＞1．可得$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+1）}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，再利用裂项求和方法即可得出．

解答 解：数列{a_n}满足：${a_1}=1，{a_{n+1}}={a_n}^2+{a_n}$＞1．
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}（{a}_{n}+1）}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n}+1}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}+1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}}$，
∴$\frac{1}{{{a_1}+1}}+\frac{1}{{{a_2}+1}}+…+\frac{1}{{{a_{2016}}+1}}=\frac{1}{a_1}-\frac{1}{{{a_{2017}}}}=1-\frac{1}{{{a_{2017}}}}$，
∵$0＜1-\frac{1}{{a}_{2017}}＜1$，
∴$\{1-\frac{1}{{a}_{2017}}\}$=1
则{$\frac{1}{{a}_{1}+1}+\frac{1}{{a}_{2}+1}+…+\frac{1}{{a}_{2016}+1}$}=1．
故选：C．

点评 本题考查了数列递推关系、裂项求和方法、取整函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．