Question

以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的参数方程为

x= 2 cost y= 2 sint

（t为参数）．
（1）曲线C在点（1，1）处的切线为l，求l的极坐标方程；
（2）点A的极坐标为（2

2

，

π

4

），且当参数t∈[0，π]时，过点A的直线m与曲线C有两个不同的交点，试求直线m的斜率的取值范围．

Answer 1

考点：简单曲线的极坐标方程,参数方程化成普通方程

专题：导数的综合应用

分析：（1）化简参数方程为普通方程，判断曲线C与点（1，1）的位置关系，求出切线的普通方程，然后化为l的极坐标方程；
（2）设出够点A的极坐标为（2

2

，

π

4

），参数t∈[0，π]时的直线方程，判断直线与圆的位置关系，通过相切，求直线m的斜率的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）

x= 2 cost y= 2 sint

，∴x²+y²=2，
点C（1，1）在圆上，
故切线l方程为x+y=2…（2分）
∴ρsinθ+ρcosθ=2，
切线l的极坐标方程：ρsin(θ+

π

4

)=

2

…（5分）
（Ⅱ）y=k（x-2）+2与半圆x²+y²=2（y≥0）相切时 

|2k-2|

1+k2

=

2

∴k²-4k+1=0，∴k=2-

3

，k=2+

3

（舍去）…．（8分）
设点B（-

2

，0），K_AB=

2-0

2+ 2

=2-

2

，
故直线m的斜率的取值范围为（2-

3

，2-

2

]．…（10分）

点评：本题考查直线与圆的位置关系，极坐标方程以及参数方程的求法与应用，考查分析问题解决问题的能力．