Question

16．请你指出函数y=f（x）=$\frac{x}{1+|x|}$（x∈R）的基本性质（不必证明，并判断以下四个命题的正确性，必要时可直接运用有关其基本性质的结论加以证明）
（1）当x∈R时，等式f（x）+f（-x）=0恒成立；
（2）若f（x₁）≠f（x₂），则一定有x₁≠x₂；
（3）若m＞0，方程|f（x）|=m有两个不相等的实数解；
（4）函数g（x）=f（x）-x在R上有三个零点．

Answer 1

分析 运用绝对值的定义，将函数写成分段函数的形式，写出定义域和值域、奇偶性和单调性，运用奇偶性即可判断（1）；
运用单调性即可判断（2）；
运用数形结合的思想方法，画出y=|f（x）|和y=m的图象，观察即可得到m的范围，即可判断（3）；
由函数方程的思想，可得f（x）=x只有一解，即可判断（4）．

解答 解：函数y=f（x）=$\frac{x}{1+|x|}$=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{1+x}，x＞0}\\{0，x=0}\\{\frac{x}{1-x}，x＜0}\end{array}\right.$，
定义域为R，值域为（-1，1），函数f（x）为奇函数，
函数f（x）在（-∞，+∞）上递增．
对于（1），由f（x）为奇函数，可知（1）正确；
对于（2），由函数f（x）在（-∞，+∞）上递增，可知（2）正确；
对于（3），作出y=|f（x）|和y=m的图象，由图象观察可得
当0＜m＜1时，图象有两个交点，方程|f（x）|=m有两个不相等的实数解．
可知（3）错误；
对于（4），令g（x）=f（x）-x=0，即为f（x）=x，
当x=0时，f（0）=0成立；当x＞0时，$\frac{x}{1+x}$=x，方程无解；
当x＜0时，$\frac{x}{1-x}$=x，方程无解．即有函数g（x）只有一个零点．
可知（4）错误．
综上可得（1）（2）正确，（3）（4）错误．

点评 本题考查函数的性质和运用，主要考查绝对值函数的图象和性质，以及函数和方程的关系及转化思想，数形结合的思想方法，属于中档题和易错题．