Question

16．已知函数f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）-cos2x，其中x∈R，给出下列四个结论：
①函数f（x）是最小正周期为π的奇函数；
②函数f（x）图象的一条对称轴是直线x=$\frac{2π}{3}$；
③函数f（x）图象的一个对称中心为（$\frac{5π}{12}$，0）；
④函数f（x）的单调递增区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z．
其中正确的结论序号②③④  

Answer 1

分析 化简函数f（x），由定义判断函数f（x）不是奇函数，判断①错误；
由f（$\frac{2π}{3}$）=1取得最大值，得出直线x=$\frac{2π}{3}$是f（x）的一条对称轴，判断②正确；
由f（$\frac{5π}{12}$）=0，得出点（$\frac{5π}{12}$，0）是f（x）的一个对称中心，判断③正确；
由正弦函数的图象与性质求出函数f（x）的单调递增区间，判断④正确．

解答 解：函数f（x）=cos（2x+$\frac{π}{3}$）-cos2x=-$\frac{1}{2}$cos2x-$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x=-sin（2x+$\frac{π}{6}$），其中x∈R：
对于①，f（-x）=-sin（-2x+$\frac{π}{6}$）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）≠-f（x），
∴函数f（x）不是奇函数，①错误；
对于②，当x=$\frac{2π}{3}$时，f（$\frac{2π}{3}$）=-sin（2×$\frac{2π}{3}$+$\frac{π}{6}$）=1为最大值，
∴函数f（x）图象的一条对称轴是直线x=$\frac{2π}{3}$，②正确；
对于③，当x=$\frac{5π}{12}$时，f（$\frac{5π}{12}$）=-sin（2×$\frac{5π}{12}$+$\frac{π}{6}$）=0，
∴函数f（x）图象的一个对称中心为（$\frac{5π}{12}$，0），③正确；
对于④，令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z；
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]，k∈Z，④正确．
综上，正确的结论序号是②③④．
故答案为：②③④．

点评 本题考查了三角函数的化简以及图象和性质的应用问题，是综合性题目．