Question

12．求下列方程的解集：
（1）sin$\frac{x}{2}$-cos$\frac{x}{2}$=1；
（2）sinx-$\sqrt{3}$cosx=$\sqrt{2}$；
（3）$\sqrt{2}$sin2x+$\sqrt{2}$cos2x-1=0；
（4）sinx=2sin（$\frac{π}{3}$-x）．

Answer 1

分析 直接利用两角和与差的三角函数化简方程，然后求解三角方程的解集．

解答 解：（1）sin$\frac{x}{2}$-cos$\frac{x}{2}$=1；
可得sin（$\frac{x}{2}$$-\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
$\frac{x}{2}$$-\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$±$\frac{π}{4}$，k∈Z，
解得{x|x=4kπ+$\frac{3π}{2}$±$\frac{π}{2}$，k∈Z}．
（2）sinx-$\sqrt{3}$cosx=$\sqrt{2}$；
可得sin（x-$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
x-$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{π}{2}$±$\frac{π}{4}$，k∈Z，
解得{x|x=2kπ+$\frac{5π}{6}$±$\frac{π}{4}$，k∈Z}．
（3）$\sqrt{2}$sin2x+$\sqrt{2}$cos2x-1=0；
可得sin（2x+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
2x+$\frac{π}{4}$=2kπ+$\frac{π}{2}$±$\frac{π}{4}$，k∈Z，
解得{x|x=kπ+$\frac{π}{8}$±$\frac{π}{8}$，k∈Z}．
（4）sinx=2sin（$\frac{π}{3}$-x）=$\sqrt{3}$cosx-sinx．
2sinx=$\sqrt{3}$cosx，
tanx=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
可得x=kπ+arctan$\frac{\sqrt{3}}{2}$，k∈Z，
解得{x|x=kπ+arctan$\frac{\sqrt{3}}{2}$，k∈Z}．

点评 本题考查三角方程的解法，考查计算能力．