Question

8．在各项均为正的数列{a_n}中，a₁=$\frac{1}{2}$，（4n-2）a_n+1=（2n+1）a_n，猜想{a_n}的通项公式并用数学归纳法证明猜想．

Answer 1

分析 根据a₁=$\frac{1}{2}$，且，（4n-2）a_n+1=（2n+1）a_n，利用递推公式，求出a₂，a₃，a₄．总结出规律求出a_n，然后利用归纳法进行证明，检验n=1时等式成立，假设n=k时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．

解答 解：a₁=$\frac{1}{2}$，（4n-2）a_n+1=（2n+1）a_n，
∴a_n+1=$\frac{2n+1}{4n-2}$a_n，
∴a₂=a₁•$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{4}$，a₃=a₂•$\frac{3}{4}$=$\frac{5}{8}$，a₄=a₃•$\frac{5}{8}$=$\frac{7}{16}$，
于是可以猜想a_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
证明如下：①当n=1时，a₁=$\frac{1}{2}$，猜想成立，
②假设n=k时猜想成立，即a_k=$\frac{2k-1}{{2}^{k}}$，
那么当n=k+1时，a_k+1=$\frac{2k+1}{4k-2}$•a_k=$\frac{2k+1}{2（2k-1）}$•$\frac{2k-1}{{2}^{k}}$=$\frac{2k+1}{{2}^{k+1}}$．
即n=k+1时等式也成立，
由①②可知a_n=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，n∈N⁺．

点评 本题考查归纳推理的应用，着重考查数学归纳法，考查运算推理能力，属于中档题．