Question

15．已知命题p：方程x²+mx+1=0有两个不相等的实根；q：不等式4x²+4（m-2）x+1＞0的解集为R．
（1）若命题q为真，求实数m的取值范围．
（2）若命题“p且q”和“非p”为假，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）通过q为真，利用判别式小于0，即可求实数m的取值范围；
（2）通过p为真，利用判别式即可求实数m的取值范围；通过“p且q”和“非p”得到p真q假，求出求实数m的取值范围．

解答 解：（1）因为不等式4x ²+4（m-2）x+1＞0的解集为R，
所以△₂=16（m-2）²-16＜0，
∴1＜m＜3，
∴若q为真，实数m的取值范围是（1，3）．
（2）∵方程x ²+mx+1=0有两个不相等的实根，
所以△₁=m ²-4＞0，
∴m＞2或m＜-2，
∴若p为真，实数m的取值范围是（-∞，-2）∪（2，+∞）．
∵“p且q”和“非p”为假，
∴p真q假，$\left\{\begin{array}{l}{m＞2或m＜-2}\\{m≤1或m≥3}\end{array}\right.$，
解得m＜-2，或m≥3．

点评 本题考查命题的真假的判断与应用，考查分类讨论思想的应用，考查计算能力．