Question

【题目】数列{an}定义为a1＞0，a11=a，an+1=an+ an2 ， n∈N*
（1）若a1= （a＞0），求 + +…+ 的值；
（2）当a＞0时，定义数列{bn}，b1=ak（k≥12），bn+1=﹣1+ ，是否存在正整数i，j（i≤j），使得bi+bj=a+ a2+ ﹣1．如果存在，求出一组（i，j），如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵ ，

∴ ，

∴ ，

故 ，

∴ ；

（2）解：由 得 ，

两边平方得

故 ，

当b1=ak时，由 知 ，

又 ，数列{an}递增，

故b2=ak﹣1，

类似地，b3=ak﹣2，…，bt=ak﹣t+1，

又 ， ， ，

bi+bj=a10+a12，

∴ak﹣i+1+ak﹣j+1=a10+a12，

存在正整数i，j（i≤j），k﹣i+1=12，k﹣j+1=10i=k﹣11，j=k﹣9，

存在一组（i，j）=（k﹣11，k﹣9）．

【解析】（1）化简 可得 ，从而利用裂项求和法求和．（2）易知 ，从而可得 ，而b1=ak ， 故代入可推出b2=ak﹣1 ， 从而类比可得b3=ak﹣2 ， …，bt=ak﹣t+1 ， 从而可得ak﹣i+1+ak﹣j+1=a10+a12 ， 从而求得．