Question

12．已知$sin（\frac{π}{3}-α）sin（\frac{π}{6}+α）=-\frac{1}{4}，α∈（\frac{π}{3}，\frac{π}{2}）$．
（ I）求sin2α的值；
（ II）求$tanα-\frac{1}{tanα}$的值．

Answer 1

分析 （ I）利用同角三角函数的基本关系、诱导公式求sin2α的值．
（ II）利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求求得 $tanα-\frac{1}{tanα}$的值．

解答 解：（ I）$sin（\frac{π}{3}-α）sin（\frac{π}{6}+α）=cos（\frac{π}{6}+α）sin（\frac{π}{6}+α）=\frac{1}{2}sin（2α+\frac{π}{3}）=-\frac{1}{4}$，
则$sin（2α+\frac{π}{3}）=-\frac{1}{2}$，又∵$α∈[\frac{π}{3}，\frac{π}{2}]$，∴$2α+\frac{π}{3}∈[π，\frac{4π}{3}]$，∴$cos（2α+\frac{π}{3}）=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
所以$sin2α=sin[（2α+\frac{π}{3}）-\frac{π}{3}]=sin（2α+\frac{π}{3}）cos\frac{π}{3}-cos（2α+\frac{π}{3}）sin\frac{π}{3}=-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{2}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=\frac{1}{2}$．
（ II）由（ I）知$sin2α=\frac{1}{2}$，又$2α∈（\frac{2π}{3}，π）$，所以$cos2α=-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，
所以$tanα-\frac{1}{tanα}=\frac{sinα}{cosα}-\frac{cosα}{sinα}=\frac{{{{sin}^2}α-{{cos}^2}α}}{sinαcosα}=\frac{-2cos2α}{sin2α}=\frac{{\sqrt{3}}}{{\frac{1}{2}}}=2\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题．