Question

4．（1）等差数列{a_n}的前n项和记为S_n，已知a₁₀=30，a₂₀=50，S_n=242，求n．
（2）等比数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₁₀=10，S₃₀=130，求S₂₀．

Answer 1

分析 （1）由题已知a₁₀=30，a₂₀=50，S_n=242可运用等差数列的定义（化为基本量a₁，d），可建立关a₁，d的方程，再利用求和公式求解可得．
（2）由等比数列的性质可得，S₁₀，S₂₀-S₁₀，S₃₀-S₂₀成等比数列，即（S₂₀-S₁₀）²=S₁₀•（S₃₀-S₂₀），代入可求．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₁₀=30，a₂₀=50，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+9d=30}\\{{a}_{1}+19d=50}\end{array}\right.$．
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=12}\\{d=2}\end{array}\right.$，
由S_n=242，可得：12n+$\frac{2n（n-1）}{2}$=242，
化为：n²+11n-242=0，
解得n=11或n=-22（舍去）．
（2）由等比数列的性质可得，S₁₀，S₂₀-S₁₀，S₃₀-S₂₀成等比数列，
∴（S₂₀-S₁₀）²=S₁₀•（S₃₀-S₂₀），
∴（S₂₀-10）²=10•（130-S₂₀），
∴S₂₀=40．

点评 本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，等比数列的性质（若S_n为等比数列的前n项和，且S_k，S_2k-S_k，S_3k-S_2k不为0，则其成等比数列）的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．