Question

15．已知某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（　　）

• A． 2+$\sqrt{5}$
• B． 3+$\frac{\sqrt{5}}{2}$
• C． 2+$\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． 3+$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由已知中的三视图，可知该几何体是一个以底面为正方形的三棱锥，高为2，累加各个面的面积可得，几何体的表面积．

解答 解：由题意：可知该几何体是一个以底面为正方形其边长AB=1的三棱锥，高AS为2，（如图）
AS⊥平面ABCD，
∴AC=$\sqrt{2}$，SD=SB=$\sqrt{5}$，
∵AD⊥CD，
∴SD⊥CD（三垂线定理）
∴△SDC是直角三角形．
同理：SB⊥CB，
∴△SBC是直角三角形．
平面SDC的表面积为：$\frac{1}{2}×$AD×SD=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
平面ABS的表面积为：$\frac{1}{2}×$AS×AB=1，
平面ABD的表面积为：$\frac{1}{2}×$AS×AD=1，
平面SBC的表面积为：$\frac{1}{2}×$BS×CB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
平面ABCD表面积为：AB×BC=1
所以该几何体的表面积为：3+$\sqrt{5}$．
故选D．

点评 本题考查了对三视图的投影的认识和边长之间的关系，由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．