Question

20．如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA₁=4，D是棱AA₁上的一点，M，N分别为BC₁AB，的中点．
（1）求证：MN∥平面DCC₁；
（2）当D为AA₁的中点时，求三棱锥D-ACN的体积．

Answer 1

分析 （1）连接AC₁，由M，N分别为AB，BC₁的中点，得MN∥AC₁，再由线面平行的判定定理可得MN∥平面DCC₁；
（2）当点D为AA₁的中点时，AD=2，由题意有AA₁⊥平面ABC，再由线面垂直的判定可得BC⊥平面A₁ACC₁，然后利用等积法可得三棱锥D-ACN的体积．

解答 （1）证明：如图，连接AC₁，
∵M，N分别为AB，BC₁的中点，故MN∥AC₁，
又AC₁?平面DCC₁，MN?平面DCC₁，
故MN∥平面DCC₁；
（2）解：当点D为AA₁的中点时，AD=2，
又在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，有AA₁⊥平面ABC，
∵AC?平面ABC，BC?平面ABC，∴AA₁⊥AC，AA₁⊥BC，
∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，
而AA₁与AC为平面A₁ACC₁中两相交直线，∴BC⊥平面A₁ACC₁，
∵N为BC₁的中点，
∴${V}_{D-ACN}={V}_{N-ACD}=\frac{1}{2}{V}_{B-ACD}$=$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}{S}_{△ACD}×BC=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×2=\frac{2}{3}$．

点评 本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．