Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足：S_n=a（S_n-a_n+1）（正常数a≠1），c_n=

1

an+1

-

1

an+1-1

．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=a_n²+S_n•a_n，若数列{b_n}为等比数列，求a的值；
（3）在满足条件（2）的情形下，c_n=

1

an+1

-

1

an+1-1

，数列{c_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＞2n-

1

2

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：

分析：（Ⅰ）利用数列{a_n}的通项a_n与前n项和S_n之间的关系：n=1时，a₁=s₁；n≥2时，a_n=s_n-s_n-1，即可求出数列{a_n}的通项a_n．
（Ⅱ）将通项a_n代入已知条件S_n=a（S_n-a_n+1）即可求出S_n的表达式，将a_n与S_n代入b_n的表达式，据已知条件数列{b_n}为等比数列，利用b22=b₁b₃即可求出a的值．
（Ⅲ）由已知得cn=

1

( 1 2 )n+1

-

1

( 1 2 )n+1-1

=2-

1

2n+1

+

1

2n+1-1

，从而得到cn＞2-

1

2n

+

1

2n+1

，由此能证明T_n＞2n-

1

2

．

解答： （Ⅰ）解：当n=1时，S₁=a（S₁-a₁+1），∴a₁=a，
当n≥2时，S_n=a（S_n-a_n+1），S_n-1=a（S_n-1-a_n-1+1）
两式相减得：a_n=a•a_n-1，

an

an-1

=a（a≠0，n≥2），
即{a_n}是等比数列，
∴

a

n

=a•a^n-1=aⁿ．
（Ⅱ）解：由a≠1得b_n=a_n²+S_n•a_n
=（aⁿ）²+

a(an-1)

a-1

•an=

(2a-1)a2n-a•an

a-1

，
若{b_n}为等比数列，则有b22=b1b3，
而b1=2a2，b2=a3(2a+1)，b3=a4(2a2+a+1)，
故[a³（2a+1）]²=2a²•a⁴（2a²+a+1），
解得a=

1

2

，
再将a=

1

2

代入b_n得b_n=（

1

2

）ⁿ，即数列{b_n}是等比数列，
∴a=

1

2

．
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知a_n=(

1

2

)n，又c_n=

1

an+1

-

1

an+1-1

，
∴cn=

1

( 1 2 )n+1

-

1

( 1 2 )n+1-1

=2-

1

2n+1

+

1

2n+1-1

，
∴cn＞2-

1

2n

+

1

2n+1

，
T_n=c₁+c₂+…+c_n
＞（2-

1

2

+

1

22

）+（2-

1

22

+

1

23

）+…+（2-

1

2n

+

1

2n+1

）
=2n-

1

2

+

1

2n+1

＞2n-

1

2

．
∴T_n＞2n-

1

2

．

点评：本题考查了数列{a_n}的通项公式a_n与前n项和S_n之间的关系，及等比数列的通项公式．较好地检验了学生应用基础知识解决问题的能力．