Question

【题目】在三棱锥中，，侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接球的体积为__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

过点P作PH⊥平面ABC于H，可得∠PAH是直线PA与底面ABC所成的角，得．由PA=PB=PC，得外接球心O必定在PH上，连接OA，可得△POA是底角等于30°的等腰三角形，从而得到外接球的半径R=OA=1，再用球的体积公式可得该三棱锥外接球的体积．

过点P作PH⊥平面ABC于H，

∵AH是PA在平面ABC内的射影，

是直线PA与底面ABC所成的角，得，

中， ，，

设三棱锥外接球的球心为O，

∵PA=PB=PC，

∴P在平面ABC内的射影H是的外心

由此可得，外接球心O必定在PH上，连接OA、OB、OC，

中，OP=OA，

∴∠OAP=∠OPA=30°，可得

∴三棱锥外接球的半径R=OA=1

因此该三棱锥外接球的体积为.

故答案为：.