Question

12．函数y=a^x+3-2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线$\frac{x}{m}$+$\frac{y}{n}$=-1上，且m，n＞0，则3m+n的最小值16．

Answer 1

分析 利用指数型函数的性质可求得定点A（-3，-1），将点A的坐标代入$\frac{x}{m}$+$\frac{y}{n}$=-1，结合题意，利用基本不等式即可．

解答 解：∵x=-3时，函数y=a^x+3-2（a＞0，a≠1）值恒为-1，
∴函数y=a^x+3-2（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A（-3，-1），
又点A在直线$\frac{x}{m}$+$\frac{y}{n}$=-1上，
∴$\frac{3}{m}$+$\frac{1}{n}$=1，又m，n＞0，
∴3m+n=（3m+n）•1
=（3m+n）•（$\frac{3}{m}$+$\frac{1}{n}$）
=9+1+$\frac{3n}{m}$+$\frac{3m}{n}$+
≥10+2$\sqrt{\frac{3n}{m}•\frac{3m}{n}}$
=16（当且仅当m=n=4时取“=”）．
故答案为：16

点评 本题考查了基本不等式的应用，利用指数函数的图象过定点求出点的坐标，再由“1”的整体代换凑出积为定值，利用基本不等式进行求解，注意“一正、二定、三相等”的验证．