【题目】(2016·广州模拟)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1⊥底面ABC,AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,D,D1分别是线段BC,B1C1的中点,过线段AD的中点P作BC的平行线,分别交AB,AC于点M,N.
(1)证明:MN⊥平面ADD1A1;
(2)求二面角A-A1M-N的余弦值.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】试题分析:(1)要证线面垂直,就要证线线垂直,即要证与平面
内两条相交直线垂直,首先由三棱柱侧棱与底面垂直可得
,由等腰三角形性质知
,从而有
,因此即证线面垂直;(2)要求二面角,关键是作出二面角的平面角,一般要找到二面角的一个面的垂线,则平面角易作,因此我们连接
,作
于
,由(1)可证
平面
,根据三垂线定理可得所求二面角的平面角,并在相应直角三角形中可求得此角大小.
试题解析:(1)因为AB=AC,D是BC的中点,
所以BC⊥AD.
由题可知MN∥BC,
所以MN⊥AD.
因为AA1⊥平面ABC,MN平面ABC,
所以AA1⊥MN.
又AD,AA1在平面ADD1A1内,且AD与AA1相交于点A,
所以MN⊥平面ADD1A1.
(2)解 如图,连结A1P,过点A作AE⊥A1P于点E,过点E作EF⊥A1M于点F,连结AF.
由(1)知,MN⊥平面AEA1,
所以平面AEA1⊥平面A1MN.
因为平面AEA1∩平面A1MN=A1P,AE⊥A1P,AE平面AEA1,
所以AE⊥平面A1MN,则A1M⊥AE,又AE∩EF=E,
所以A1M⊥平面AEF,则A1M⊥AF,
故∠AFE为二面角A-A1M-N的平面角(设为θ).
设AA1=1,则由AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,
D为BC的中点,有∠BAD=60°,AB=2,AD=1.
又P为AD的中点,M为AB的中点,
所以AP=,AM=1.
在Rt△AA1P中,A1P=,
在Rt△A1AM中,A1M=,
从而AE=,
AF=,
所以sinθ=.
因为∠AFE为锐角,
所以.
故二面角A-A1M-N的余弦值为.
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【题目】已知抛物线C:y2=4x和直线l:x=-1.
(1)若曲线C上存在一点Q,它到l的距离与到坐标原点O的距离相等,求Q点的坐标;
(2)过直线l上任一点P作抛物线的两条切线,切点记为A,B,求证:直线AB过定点.
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【题目】已知点A(-2,0),B(2,0),曲线C上的动点P满足.
(1)求曲线C的方程;
(2)若过定点M(0,-2)的直线l与曲线C有公共点,求直线l的斜率k的取值范围;
(3)若动点Q(x,y)在曲线C上,求的取值范围.
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【题目】在△ABC中,A、B、C的对边分别为a,b,c,已知向量,n=(c,b-2a),且m·n=0.
(1)求角C的大小;
(2)若点D为边AB上一点,且满足,
,
,求△ABC的面积.
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【题目】在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为 (t为参数),若以该直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρsin2θ-4cos θ=0.
(1)求直线l与曲线C的普通方程;
(2)已知直线l与曲线C交于A,B两点,设M(2,0),求的值.
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【题目】高三一班、二班各有6名学生去参加学校组织的高中数学竞赛选拔考试,成绩如茎叶图所示.
(1)若一班、二班6名学生的平均分相同,求值;
(2)若将竞赛成绩在、
、
内的学生在学校推优时,分别赋分、2分、3分,现在从一班的6名参赛学生中选两名,求推优时,这两名学生赋分的和为4分的概率.
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