Question

18．设$\overrightarrow{OA}=（2，-1），\overrightarrow{OB}=（3，1），\overrightarrow{OC}=（m，3）$．
（1）当m=2时，将$\overrightarrow{OC}$用$\overrightarrow{OA}$和$\overrightarrow{OB}$表示；
（2）若$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{BC}$，求实数m的值．

Answer 1

分析 （1）利用平面向量基本定理，借助于方程思想求出系数；
（2）首先求出两个向量的坐标，然后利用垂直得到关于m的方程解之．

解答 解：（1）当m=2时，设$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，
则有$\left\{\begin{array}{l}2x+3y=2\\-x+y=3.\end{array}\right.$解之得$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{7}{5}\\ y=\frac{8}{5}.\end{array}\right.$
即$\overrightarrow{OC}=-\frac{7}{5}\overrightarrow{OA}+\frac{8}{5}\overrightarrow{OB}$．----------（6分）
（2）$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=（1，2）$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=（m-3，2）$，
因为$\overrightarrow{AB}⊥\overrightarrow{BC}$，所以$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=0$，
即1×（m-3）+2×2=0，解得m=-1．----------（12分）

点评 本题考查了平面向量基本定理的运用以及向量垂直的性质；属于中档题．